Форма входа
  • chh, ch
  • ch,ch,ch,c
3233
Поиск
Развитие геометрии


В развитии Геометрии можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение Геометрии. Первый период — период зарождения Геометрии как математической. науки — протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции, примерно до 5 в. до н. э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае — зависимостей между геометрическими величинами. Этот момент не может быть датирован. Самое раннее сочинение, содержащее зачатки Г., дошло до нас из Древнего Египта и относится примерно к 17 в. до н. э., но оно, несомненно, не первое.

Геометрические сведения того периода были немногочисленны и сводились прежде всего к вычислению некоторых площадей и объёмов. Они излагались в виде правил, по видимому, в большой мере эмпирического происхождения, логические же доказательства были, вероятно, еще очень примитивными. Г., по свидетельству греч. историков, была перенесена в Грецию из Египта и Вавилона в 7 в. до н. э. Здесь на протяжении нескольких поколений она складывалась в стройную систему. Процесс этот происходил путём накопления новых геометрических. знаний, выяснения связей между разными геометрическими фактами, выработки приёмов доказательств и, наконец, формирования понятий о фигуре, о геометрическом предложении и о доказательстве.

Этот процесс привёл, наконец, к качественному скачку; Г. превратилась в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались. С этого времени начинается второй период развития Г. Известны упоминания систематические изложения Г., данного в 5 в. до н. э. Гиппократом Хиосским, и некоторые другие. Но сохранились и сыграли в дальнейшем решающую роль появившиеся около 300 до н. э. «Начала» Эвклида. Здесь Г. представлена так, как ее в основном понимают и теперь, если ограничиваться элементарной Г., начала которой изучают в средней школе, — это наука о простейших пространственных формах и отношениях, развиваемая в логической последовательности, исходя из явно формулированных основных положений — аксиом и основных пространственных представлений. Г., развиваемую на принципах Эвклида, даже уточнённую и обогащенную новыми предметами и методами исследования, называют эвклидовой. Еще в Греции к ней добавляются новые предложения, возникают новые методы определения площадей и объёмов (Архимед, 3 в. до н. э.), учение о конических сечениях (Аполлоний Пергский, 3 в. до н. э.), присоединяются начатки тригонометрии (Гиппарх, 3 в. до н. э.) и Г. на сфере (Менелай, 1 в. н. э.). Падение рабовладельческого античного общества привело к сравнительному застою в развитии Г.: однако она продолжала развиваться в странах арабского Востока, в Средней Азии и Индии.

Возрождение наук и искусств в Европе, вызванное зарождением капитализма, повлекло новый расцвет Г. Принципиально новый шаг был сделан в 1-й половине 17 в. Р. Декартом, который ввёл в Г. метод координат, позволивший связать Г. с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в Г. породило аналитическую, а потом и дифференциальную Г. Здесь Г. перешла на качественно новую ступень по сравнению с Г. древних: в ней рассматриваются уже гораздо более общие фигуры и используются существенно новые методы. Поэтому с этого времени можно считать третий период развития Г. Аналитическая геометрия изучает фигуры и преобразования, задаваемые алгебраическими уравнениями в прямоугольных координатах, используя при этом методы алгебры. Дифференциальная геометрия, возникшая в 18 в. в результате работ Л. Эйлера, Г. Монжа и др., исследует уже любые достаточно гладкие кривые линии и поверхности, а также их семейства (т. е. их непрерывные совокупности) и преобразования (понятию «дифференциальная Г.» придаётся теперь часто более общий смысл, о чём см. ниже. — Новейшее развитие геометрии). Её название связано в основном с её методом, исходящим из дифференциального исчисления. Но в настоящее время теория кривых линий и поверхностей переросла эти рамки, т. к. в ней изучают также негладкие кривые и поверхности. К 1-й половине 17 в. относится зарождение проективной геометрии в работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Она возникла из задач изображения тел на плоскости; её первый предмет составляют те свойства плоских фигур, которые сохраняются при проектировании с одной плоскости на другую из любой точки. Окончательное оформление и систематическое изложение этих новых направлений Г. было дано в 18 и начале 19 вв. Л. Эйлером для аналитической Г. (1748), Г. Монжем для дифференциальной Г. (1795), Ж. Понселе для проективной Г. (1822), причём самое учение о геометрическом изображении в прямой связи с задачами черчения было еще раньше (1799) развито и приведено в систему Монжем в виде начертательной геометрии. Во всех этих новых дисциплинах основы Г. оставались неизменными, круг же изучаемых фигур и их свойств, а также применяемых при этом методов расширялся. То была эпоха возникновения промышленного капитализма, и глубокой причиной, побуждавшей развитие этих новых дисциплин, были запросы точного естествознания, техники и промышленности.

Четвёртый период в развитии Г. открывается построением Н. И. Лобачевским новой, неэвклидовой Г., называемой теперь геометрией Лобачевского. Первая работа Лобачевского в этом направлении была доложена им на заседании физико-математического факультета Казанского ун-та в 1826 и опубликована в развитой форме в 1829. В 1832 венгерский геометр Янош Больяй независимо от него опубликовал работу того же направления, но в менее развитой форме. Источник, сущность и значение идей Лобачевского сводятся к следующему. В геометрии Эвклида имеется аксиома о параллельных, утверждающая: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной». Многие геометры пытались доказать эту аксиому, исходя из других основных посылок Г., но безуспешно. Лобачевский пришёл к мысли, что такое доказательство невозможно. «Напрасное старание со времен Евклида, в продолжении двух тысяч лет, — писал он, — заставило меня подозревать, что в самых понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую поверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например. Астрономические наблюдения» (Лобачевский Н. И., Полное собр. соч., т. 2, 1949, стр. 147). Утверждение, противоположное аксиоме Эвклида, будет: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две параллельные ей прямые». Это и есть аксиома Лобачевского. По мысли Лобачевского, присоединение этого положения к другим основным положениям Г. не должно приводить к противоречию, т. е. все выводы, получаемые на основе такого соединения, будут логически безупречными. Система этих выводов и образует новую, неэвклидову Г. Заслуга Лобачевского состоит в том, что он не только высказал эту идею, но действительно построил и всесторонне развил эту новую Г., логически столь же совершенную и богатую выводами, как эвклидова, несмотря на её несоответствие обычным наглядным представлениям. Лобачевский рассматривал свою Г. как возможную теорию пространственных отношений; однако она оставалась гипотетической до 1868—70, когда был выяснен её реальный смысл и тем самым было дано её полное обоснование Переворот в Г., произведённый Лобачевским, по своему значению не уступает ни одному из переворотов в естествознании, и недаром Лобачевский был назван «Коперником геометрии». В его идеях были намечены три принципа, определившие новое развитие Г. Первый принцип заключается в том, что логически мыслима не одна эвклидова Г., но и другие «геометрии».

Второй принцип — это принцип самого построения новых геометрической теорий путём видоизменения и обобщения основных положений эвклидовой Г., т. е. в конечном счёте данных пространственного опыта. Именно в этом направлении пошло и продолжает идти развитие абстрактной Г. Третий принцип состоит в том, что истинность геометрической теории может проверяться только опытом, и не исключено, что дальнейшие опытные исследования обнаружат неточность соответствия эвклидовой Г. реальным свойствам пространства. Вопрос об этих свойствах есть вопрос физического опыта, а не математического умозрения. Эта мысль содержится в приведённом выше высказывании Лобачевского; современная физика полностью её подтвердила. Лобачевский дал, т. о., материалистическую установку философии математики. Перечисленные общие принципы сыграли определяющую роль не только в Г., но и в развитии математики вообще, в развитии её аксиоматического метода, в понимании её отношения к действительности. Главная особенность нового периода в истории Г., начатого Лобачевским, состоит в развитии новых геометрической теорий — новых «геометрий» и в соответствующем обобщении предмета Г.; возникает понятие о разного рода «пространствах» (термин «пространство» имеет в науке два смысла: с одной стороны, это обычное реальное пространство, с другой — абстрактное математическое «пространство»). Одни теории складывались внутри эвклидовой Г. в виде её особых глав и лишь потом получали самостоятельное значение. Так складывалась Г. проективная, аффинная, конформная и др., предметом которых служат свойства фигур, сохраняющиеся при соответствующих (проективных, аффинных, конформных и др.) преобразованиях. Например, проективная Г. была изложена Ж. Понселе в 1822 как новая глава эвклидовой Г., но уже в 1847 X. Штаудт дал ей самостоятельное обоснование; оформилось понятие особого проективного пространства, и затем сама эвклидова Г. стала рассматриваться в известном смысле как глава проективной Г. Аналогично возникло понятие аффинного и конформного пространств. Другие теории, подобно геометрии Лобачевского, с самого начала строились на основе изменения и обобщения понятий эвклидовой Г. Так, напр., создавалась многомерная Г.; первые относящиеся к ней работы (Г. Грасман и А. Кэли, 1844) представляли формальное обобщение обычной аналитической Г. с трёх координат на n. Некоторый итог развития новых «геометрий» подвёл в 1872 Ф. Клейн, указав общий принцип их построения.Принципиально новый шаг был сделан Б. Риманом в лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854, но опубликованной лишь в 1868. Во-первых, он ясно формулировал обобщённое понятие пространства как непрерывной совокупности любых однородных объектов или явлений . А во-вторых, он ввёл понятие пространства с любым законом измерения расстояний бесконечно малыми шагами (подобно измерению длины линии очень малым масштабом). Отсюда развилась обширная область Г. — т. н. риманова Г. и её обобщения, — которая нашла важные приложения в теории относительности, в механике и др. В тот же период зародилась топология как учение о тех свойствах фигур, которые зависят лишь от взаимного прикосновения их частей и которые, тем самым, сохраняются при любых преобразованиях, не нарушающих и не вводящих новых прикосновений, т. е. происходящих без разрывов и склеиваний (эти — т. н. топологические — преобразования строго определяются как взаимно-однозначные и непрерывные).

В 20 в. топология развилась в обширную самостоятельную дисциплину, общи» предмет которой составляют т. н. топологического пространства. Так Г. превратилась в разветвлённую и быстро развивающуюся в разных направлениях совокупность математической теорий, изучающих разные пространства (эвклидово, Лобачевского, проективное, римановы и т. д.) и фигуры в этих пространствах. Одновременно с развитием новых геометрической теорий велась разработка уже сложившихся областей эвклидовой Г. — элементарной, аналитической и дифференциальной Г. Вместе с тем в эвклидовой Г. появились также новые направления . Предмет Г. расширился также в том смысле, что расширился круг исследуемых фигур, круг изучаемых их свойств, расширилось самое понятие о фигуре. На стыке анализа и Г. возникла в конце 19 в. теория точечных множеств, являющаяся теорией предельно общих фигур, определяемых как любые, вообще бесконечные, множества точек. Эта теория, однако, уже не причисляется к Г., а составляет особую дисциплину — теорию множеств , Развитие Г. было необходимо связано с глубоким анализом тех свойств пространства, которые лежат в основе эвклидовой Г. Иными словами, оно было связано с уточнением оснований самой эвклидовой Г., которое начал Лобачевский, установив независимость аксиомы о параллельных от других аксиом Эвклида. Эта работа привела в конце 19 в. к точной формулировке аксиом эвклидовой Г., а также других «геометрий». Реальное же истолкование геометрии Лобачевского привело к выяснению общего вопроса о различных возможных истолкованиях одной и той же «геометрии» . Чем глубже анализировались свойства пространства, тем более высокие точки зрения и общие теории создавались на его основе; и если 50 лет назад «высшей» считалась проективная Г., то теперь над ней возвышается топология, т. к. она исходит из более важного и глубокого пространственного отношения — прикосновения и непрерывности — и является вместе с тем гораздо более общей теорией. Наконец, широкое развитие Г. было невозможно без развития новых методов, которые вырабатывались во взаимодействии Г. с другими частями математики. Для современной Г. характерно ещё большее, чем прежде, проникновение её идей и методов в другие области математики и обратно, так что точное выделение Г. из всей математики оказывается, по существу, невозможным. Существенно изменилось также отношение Г. к изучению материальной действительности: если раньше Г. была лишь теорией пространственных отношений и форм, основанной на положениях, формулированных у Эвклида, то теперь она стала также наукой о формах и отношениях действительности, сходных с пространственными. Область её применения к исследованию природы чрезвычайно расширилась. Но при всём разнообразии приложений и абстрактности теорий современной Г. все они имеют общий источник в изучении конкретных пространственных форм и отношений, которое было впервые суммировано в элементарной эвклидовой Г. и из которого, в конечном счёте, исходят все понятия Г. Это единство источника позволяет дать определение Г. как той части математики, которая развилась из изучения пространственных форм и отношений.

Среда, 13.12.2017, 19:33
Приветствую Вас Гость
Наш опрос
Оцените мой сайт
Всего ответов: 8
Друзья сайта
  • Официальный блог
  • Сообщество uCoz
  • FAQ по системе
  • Инструкции для uCoz
  • Статистика

    Онлайн всего: 1
    Гостей: 1
    Пользователей: 0