Форма входа
  • chh, ch
  • ch,ch,ch,c
3233
Поиск
Современная геометрия (её общий предмет и структура)


Процесс развития Г. привёл в начале 20 в. к обобщению понятий о пространстве и фигуре. Формально-математическое их определение, принятое в настоящее время, исходит из понятия множества. Именно, пространство определяют как множество каких-либо элементов — «точек» — с условием, что в этом множестве установлены некоторые отношения, сходные с обычными пространственными отношениями. Множество цветов, множество состояний физической системы, множество непрерывных функций, заданных на отрезке [0,1], и т. п. образуют пространства, где точками будут цвета, состояния, функции. Точнее, эти множества понимаются как пространства, если в них приняты во внимание соответствующие отношения, напр. расстояние между точками. [Так, расстояние между функциями можно определить как максимум абсолютной величины их разности: max | f(x)—g(x)| ]. Фигура определяется как произвольное множество точек в данном пространстве. Иногда пространство определяется как система из множеств элементов. Напр., в проективной Г. принято рассматривать точки, прямые и плоскости как равноправные исходные геометрические объекты, связанные отношениями «соединения».

Основные типы отношений, которые в разных комбинациях приводят ко всему разнообразию «пространств» современной Г., следующие:
1) Общими отношениями, имеющимися во всяком множестве, являются отношения принадлежности и включения: точка принадлежит множеству, и одно множество есть часть другого. Если приняты во внимание только эти отношения, то в множестве не определяется еще никакой «геометрии», оно не становится пространством. Однако, если выделены некоторые специальные фигуры (множества точек), напр, прямые и плоскости, то «геометрия» пространства может определяться законами связи точек с этими фигурами. Такую роль играют аксиомы сочетания в элементарной, аффинной, проективной Г. Если в проективной Г. точки, прямые и плоскости рассматривают как равноправные элементы, то получается просто отношение соединения этих элементов. В чистом виде это отношение составляет содержание лишь весьма абстрактных аксиоматических исследований, обнаруживающих, впрочем, интересные связи с современной алгеброй.
2) Почти во всех основных разделах Г. существенное значение имеет непрерывность пространства, характеризуемая отношениями прикосновения. В общей форме это отношение вводится так, Что для любого множества точек определяются его точки прикосновения; тогда два множества (две фигуры) можно назвать соприкасающимися, если хотя бы одно содержит точки прикосновения другого; пространство или фигура будет непрерывной, или, как говорят, связной, если её нельзя разбить на несоприкасающиеся части. Множество, в котором определено отношение прикосновения, называется топологическим пространством. Общая теория топологических пространств составляет содержание т. н. абстрактной топологии, которая из-за своей общности стоит лишь на границе Г.
3) Основной предмет Г. в собственном смысле, включая классическую топологию, составляют т. н. многообразия. Многообразием называется такое связное топологическое пространство, в окрестности каждой точки которого можно ввести координаты, т. е. поставить точки этой окрестности в непрерывное и взаимно-однозначное соответствие с системами из n действительных чисел х1, х2,..., хn. Числа n есть число измерений многообразия. Пространства, изучаемые в большинстве геометрической теорий, являются многообразиями; простейшие геометрические фигуры (отрезки, части поверхностей, ограниченные кривыми, и т. п.), обычно являются кусками многообразий. Если среди всех систем координат, которые можно ввести в кусках многообразия, выделяются системы координат такого рода, что одни координаты выражаются через другие дифференцируемыми (то или иное число раз) или аналитическими функциями, то получают т. н. гладкое (аналитическое) многообразие. Это абстрактное понятие обобщает наглядное—представление о гладкой поверхности. Гладкие многообразия составляют предмет общей дифференциальной Г., причём в них вводятся ещё другие отношения. Сюда же включается обычная теория гладких кривых и поверхностей.
4) Обобщение понятия движения как преобразования одной фигуры в другую приводит к выдвинутому Ф. Клейном (1872) общему принципу определения разных пространств. В самом общем смысле пространством считается здесь множество элементов; (чаще всего — точек), в котором задана группа взаимно-однозначных преобразований этого множества на самого себя. «Геометрия» такого пространства состоит в изучении тех свойств фигур». которые сохраняются при преобразованиях, принадлежащих к этой группе. Поэтому с точки зрения такой Г. фигуры можно считать «равными», если одна преобразуется в другую преобразованием из данной группы. Напр., эвклидова Г. изучает свойства фигур, сохраняющиеся при движениях, аффинная Г. — свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях, топология — свойства фигур, сохраняющиеся при любых взаимно-однозначных и непрерывных преобразованиях. В эту же схему включаются геометрия Лобачевского, проективная Г. и др. В зависимости от того, какие преобразования рассматриваются, получают в обычном пространстве эвклидову Г., аффинную Г., топологию. Это имеет вполне реальное основание и соответствует разным ступеням абстракции, выделяющим в конкретных пространственных отношениях те или иные общие свойства. В собственном её виде концепция Клейна состоит в том, что пространство определяется как гладкое многообразие, в котором преобразования задаются аналитическими формулами, связывающими координаты каждой данной точки и той, в которую она переходит (координаты образа точки задаются как функции координат самой точки и параметров, от которых зависит преобразование; напр., аффинные преобразования определяются как линейные: х'i = а i1 х1 +аin х2+...+а in хn, i= l, 2,..., n). Поэтому общим аппаратом разработки таких «геометрий» служит теория непрерывных групп преобразований, основанная С. Ли. Возможна другая, по существу эквивалентная, точка зрения, согласно которой задаются не преобразования пространства, а преобразования координат в нём, причём изучаются те свойства фигур, которые одинаково выражаются в разных системах координат. Эта точка зрения нашла применение в теории относительности, которая требует одинакового выражения физических законов в разных системах координат, или, как говорят физики, системах отсчёта. Та же концепция, освобождённая от требования непрерывности преобразований, лежит в основе современной алгебраическая Г., которая изучает инварианты бирациональных преобразований координатных пространств, построенных над любым алгебраическим полем. Более изолированными остаются опыты применения клейновской концепции к бесконечномерным пространствам (т. е. таким, где точка не задаётся конечным числом координат).
5) Другой общий принцип определения пространств, указанный в 1854 Б. Риманом, исходит из обобщения понятия о расстоянии. По Риману, пространство определяется как гладкое многообразие, в котором задан закон измерения расстояний, точнее длин, бесконечно малыми шагами, т. е. задаётся дифференциал длины дуги кривой как функция координат точки кривой и их дифференциалов. Это есть обобщение внутренней Г. поверхностей, определённой Гауссом как учение о свойствах поверхностей, определяемых измерением длин кривых на ней. Простейший случай представляют т. н. римановы пространства, в которых в бесконечно малом имеет место теорема Пифагора (т. е. в окрестности каждой точки можно ввести координаты так, что в этой точке квадрат дифференциала длины дуги равен сумме квадратов дифференциалов координат; в произвольных же координатах он выражается общей положительной квадратичной формой). Такое пространство, стало быть, евклидово в бесконечно малом, но в целом оно может не быть эвклидовым, подобно тому как кривая поверхность лишь в бесконечно малом может быть сведена к плоскости с соответствующей точностью. Геометрии Эвклида и Лобачевского оказываются частным случаем этой римановой Г. Наиболее широкое обобщение понятия расстояния привело к понятию общего метрического пространства как такого множества элементов, в котором задана «метрика», т. е. каждой паре элементов отнесено число — расстояние между ними, подчинённое только очень общим условиям. Эта идея играет важную роль в функциональном анализе и лежит в основе некоторых новейших геометрических теорий, как, напр., внутренняя Г. негладких поверхностей.
6) Соединение идеи Римана об определении «геометрии» в бесконечно малых областях многообразия с определением «геометрии» посредством группы преобразований привело к понятию о таком пространстве, в котором группа преобразований задаётся лишь в бесконечно малых областях; иными словами, здесь преобразования устанавливают связь только бесконечно близких кусков многообразия: один кусок преобразуется в другой, бесконечно близкий. Поэтому говорят о пространствах со «связностью» того или иного типа: эвклидовой, аффинной, проективной и т. п. В частности, пространства с эвклидовой связностью и суть римановы. Эта общая концепция, развитая Э. Картаном в 1922—25, охватывает с единой точки зрения большую часть современной общей дифференциальной Г. Весь этот арсенал средств делает геометрических метод чрезвычайно гибким: он позволяет создать для каждого круга исследований свою наиболее подходящую специальную Г. В поисках новой геометрической системы, отвечающей тем или иным специальным задачам, преобладают смешанные методы, использующие, где это целесообразно, введение координат, определение содержания данной теории аналитическим заданием группы преобразований и т. п. Аксиоматический метод, который привёл, напр., Лобачевского к созданию его Г. (путём видоизменения аксиоматики эвклидовой Г.), теперь чаще служит лишь для оформления уже готовой теории. Современная Г. объемлет многочисленные теории, иногда весьма различные по предмету и методу. Границы её не являются точными, т. к. она связана переходами с другими частями математики и постоянно развивается. Во всякой математической теории имеются области применения геометрических методов («геометрия чисел», геометрическая теория функций комплексного переменного, геометрические вопросы функционального анализа и др.). Кроме того, на границе Г. лежат такие общие теории, возникающие в результате соединения общих идей Г. и анализа, как теория точечных множеств, абстрактная топология, теория общих метрических и функциональных пространств. Каждая данная геометрическая теория определяется среди других геометрических теорий, во-первых, тем, какое пространство или какого типа пространства в ней рассматриваются, т.е. какие обобщения первоначальных геометрический понятий положены в основу. Так разделяются эвклидова Г., геометрия Лобачевского, проективная Г. (каждая из них может разделяться ещё по числу измерений), общая риманова Г. и т. д. Во-вторых, в определение теории входит указание на исследуемые фигуры. Так разделяют теории: многогранников, кривых, поверхностей, выпуклых тел и т. д. Каждая из этих теорий может развиваться в том или ином пространстве. Напр., можно рассматривать теорию многогранников в обычном эвклидовом пространстве, в n-мерном эвклидовом пространстве, в пространстве Лобачевского и др. Можно развивать обычную теорию поверхностей, проективную, в пространстве Лобачевского и т. д. В-третьих, имеет значение характер рассматриваемых свойств фигур. Так, можно изучать свойства поверхностей, сохраняющиеся при тех или иных преобразованиях; можно различать учение о кривизне поверхностей, учение об изгибаниях (т. е. о деформациях, по меняющих длин кривых на поверхности), внутреннюю Г. Наконец, в определение теории можно включать её основной метод и характер постановки задач. Так разделяют геометрии: элементарную, аналитическую, дифференциальную, напр. можно говорить об элементарной или аналитической Г. пространства Лобачевского. Разделяют Г. «в малом», рассматривающую лишь свойства сколь угодно малых кусков геометрического образа (кривой, поверхности, многообразия), от Г. «в целом», изучающей, как ясно из её названия, геометрические образы в целом на всём их протяжении. Очень общим является разделение т. н. метрической и неметрической Г. В первой фигурирует метрика, т. е. то, что связано с измерением (расстояние, площадь); вторая использует лишь понятия расположения и непрерывности; её называют также Г. положения. Этим термином обозначали специально проективную Г., топологию же называют анализом положения (analysis situs) Отличают ещё синтетическую Г., понимая под этим любую теорию, если только она разрабатывается синтетическим методом. Эти деления являются, в общем, не очень определёнными. Ко всему этому нужно прибавить, что специальное место занимают основания Г. В 20 в. продолжается разработка всех разделов эвклидовой Г.

Характерным является принципиально новое развитие дифференциальной Г. и возникновение новой, синтетической Г., которая, в отличие от элементарной, изучает, исходя из геометрических понятий и методов, очень общие классы фигур.

Дифференциальная Г. 19 в., называемая теперь «классической», характеризовалась следующими чертами:

1) она развивалась в тесной связи с анализом на основе применения его методов, прежде всего теории дифференциальных уравнений;

2) поэтому она ограничивалась регулярными кривыми и поверхностями, т. е. такими, которые допускали применение методов анализа (соответственно поверхности с рёбрами, разрывами кривизны и т. п. исключались);

3) дифференциальная Г. была Г. «в малом», т. е. ограничивалась по преимуществу изучением лишь произвольно малых кусков кривых и поверхностей;

4) она изучала свойства кривых и поверхностей, не изменяющиеся при движениях и (для поверхностей) изгибаниях, но не при более общих преобразованиях.

В 20 в. эта классическая дифференциальная Г. продолжает разрабатываться. В СССР ею занимались геометры московской школы, основанной К. М. Петерсоном (Д. Ф. Егоров, Б. К. Млодзеевский, С. П. Фиников и др.). Новые принципиальные результаты в вопросах изгибания поверхностей были получены Н. Н. Лузиным и Н. В. Ефимовым. В. Ф. Каган, Я. С. Дубнов и другие применили в теории поверхностей методы тензорного исчисления. Последние работы подытожены В. Ф. Каганом в его «Основах теории поверхностей» (2 чч. 1947—48). Наряду с этим в дифференциальной Г. возникают новые направления. Во-первых, изучаются также свойства кривых, поверхностей и их семейств, не меняющиеся при других преобразованиях помимо движения и прежде всего при проективных и аффинных преобразованиях (Е. Вильчинский, В. Бляшке, С. П. Фиников и др.). Эти теории могут рассматриваться не только как главы проективной и аффинной Г., но и как главы эвклидовой Г., поскольку речь идёт о свойствах фигур эвклидова пространства, не меняющихся при преобразовании того или иного типа. Во-вторых, наряду с дифференциальной Г. «в малом», появляется Г. «в целом», интересующаяся свойствами уже не сколь угодно малых кусков кривых и поверхностей, но «целых» кривых и поверхностей, напр. замкнутых либо продолженных до бесконечности или хотя бы до некоторых определённых границ. Конечно, отдельные типы кривых и поверхностей, начиная с окружности и сферы, изучались «в целом» с древности, но теперь речь идёт об изучении «в целом» любых кривых и поверхностей, а вопросы, о них поставленные, выросли из предыдущего развития дифференциальной Г. и существенно выходят за пределы доступного Г. еще середины 19 в.

Характерный пример противопоставления задач «в малом» и «в целом» представляет вопрос об изгибании поверхностей. Ф. МИНДИНГ в 1838 доказал изгибаемость малого куска сферы; позже Г. Дарбу доказал изгибаемость (точнее возможность изометрического отображения) малого куска любой регулярной поверхности. А в 1927 С. Э. Кон-Фоссен доказал неизгибаемость всякой регулярной замкнутой выпуклой поверхности. Другой пример. Е. Бельтрами в 1868 доказал, что внутренняя Г. поверхностей постоянной отрицательной кривизны совпадает с геометрией Лобачевского, но лишь в некотором куске плоскости Лобачевского. Д. Гильберт в 1901 доказал, что вместе с тем не существует никакой поверхности, на к-рой реализуется Г. всей плоскости Лобачевского в целом. Главные результаты теории поверхностей «в целом» принадлежат советским геометрам. Л. А. Люстерник, Л. Г. Шнирельман, С. Э. Кон-Фоссен и другие глубоко исследовали геодезические линии на замкнутых и бесконечных поверхностях. В частности, Люстерник и Шнирельман решили классическую проблему, над которой работал еще А. Пуанкаре, доказав, что на замкнутой поверхности существует не менее трёх замкнутых геодезических. Важные результаты в вопросах изгибания поверхностей «в целом» получили А. Д. Александров, С. П. Оловянишников, А. В. Погорелов. Ими, в частности, почти до конца исследована изгибаемость или неизгибаемость общих выпуклых поверхностей, замкнутых, бесконечных и ограниченных. К качественным исследованиям изгибания относятся работы Н. В. Ефимова, который, напр., доказал, что существуют аналитические поверхности, не допускающие непрерывного изгибания в сколь угодно малой окрестности т. н. точки уплощения (где кривизны всех нормальных сечений обращаются в нуль). В работах В. Бляшке и его школы разрабатывались задачи «в целом» аффинной дифференциальной Г. Они подытожены Бляшке во 2-м томе его «Лекций по дифференциальной геометрии» (1923). Бляшке и др. развили также т. н. интегральную геометрию, идущую от исследований М. Крофтона (1868) по геометрическим вероятностям. Идея интегральной Г. состоит в том, что подобно площади, как мере множества точек, определяются меры множеств прямых, плоскостей или других фигур. Тогда, напр., длина замкнутой выпуклой кривой оказывается равной мере множества пересекающих её прямых. В конце 19 в. началось новое развитие синтетической геометрии. Е. С. Фёдоров создал, в связи с задачами кристаллографии, теорию правильных систем фигур и получил новые результаты в теории многогранников. То же, по существу, направление развивали (в большей мере в связи с задачами теории чисел) Г. Минковский, Г. Ф. Вороной, а вслед за ними Б. Н. Делоне и др. В это же время Г. Брунн и Г. Минковский создали новую главу синтетической Г. —теорию выпуклых тел. Богатство выводов и применений этой теории сделали её одной из важных глав Г. Она сомкнулась с дифференциальной Г. «в целом», поскольку изучение выпуклого тела было равносильно изучению всей его поверхности. Однако поверхность выпуклого тела может не быть регулярной; она может иметь рёбра и другие особенности. Поэтому здесь необходимо возникла задача расширения методов дифференциальной Г. Но и независимо от этого возникают попытки изучать более общие фигуры, чем те, какие допускала классическая дифференциальная Г. Поэтому наряду с аналитическими разрабатываются прямые геометрические методы изучения кривых и поверхностей и даже предельно общих фигур — т. н. теоретико-множественная Г. (Булиган, И. Я. Верченко и др.). А. Д. Александров, начиная с 1937, развил общую теорию выпуклых поверхностей. Эта теория, обходясь без ограничений классической дифференциальной Г., обобщила основные её понятия и выводы и привела к новым результатам, вполне наглядным по содержанию, но находящимся за пределами возможностей классических методов. Основным для неё является применение в самом начале синтетических методов и особенно метода приближения общих поверхностей многогранниками. Напр., одним из важных пунктов теории является теорема об условиях, при которых из данной развёртки можно склеить выпуклый многогранник. Эта теорема, вполне элементарная по формулировке, имеет, однако, неэлементарное доказательство и далеко идущие следствия для общих выпуклых поверхностей. Важные результаты в смысле соединения этой теории с классической получены А. В. Погореловым в 1949. Эта теория охватила все учение о выпуклых поверхностях, соединяя теорию выпуклых многогранников и выпуклых тел с классической теорией поверхностей положительной кривизны. Методы этой теории распространяются и на невыпуклые поверхности, а также применяются в пространстве Лобачевского и частично в n-мерных пространствах. Если в области общих геометрических теорий во 2-й половине и конце 19 в. в центре внимания была проективная Г., то в 20 в. главное место заняла теория римановых пространств и её обобщения. В её развитии главнейшую роль сыграло то, что она нашла блестящее приложение в общей теории относительности (1915). Впрочем, основы самой теории римановых пространств были разработаны самим Б. Риманом и его последователями еще во 2-й половине 19 в. В середине 20 в. внимание сосредоточивается в ней на изучении специальных видов пространств (напр., т. н. симметричные пространства Картана или т. н. субпроективные пространства Кагана), на задачах «погружения» (т. е. представления данного риманова пространства гиперповерхностью в эвклидовом пространстве достаточного числа измерений) и др. В развитии римановой Г. и её обобщений большое значение имеют работы советских математиков — В. Ф. Кагана, П. А. Широкова, В. В. Вагнера, П. К. Рашевского, А. П. Нордена и др. Принципиальный шаг в области обобщений, сделанный Э. Картаном, характеризован выше — в гл. Современная геометрия (её общий предмет и структура). Другое обобщение, намеченное еще Риманом, приводит к пространствам с общим законом измерения бесконечно малых расстояний. Их исследовал в 1918 П. Финслер, и потому они называются финслеровыми пространствами. Наконец, теперь строятся также геометрии, исходящие из других принципов. Таковы, напр., (1) т. н. полиметрическая геометрия П. К. Рашевского, где в случае двух измерений вводятся два «расстояния», но не между точками, а между линейными элементами, (2) Г., в к-рой за основное принимается понятие площади (Э. Картан, В. В. Вагнер), (3) т. н. него-лономная геометрия (И. Схоутен, В. В. Вагнер), где речь идёт о многообразии, в каждой точке которого задаётся m-мерная плоскость (точнее, «m-мерный элемент»), подобно семейству плоскостей в эвклидовом пространстве. Все эти теории строятся «в малом», т. е. определяется и рассматривается достаточно малая область соответствующего пространства. Далее, они разрабатываются специальными аналитическими методами, достигшими теперь большой общности и силы. Поэтому их объединяют под названием общей дифференциальной Г. Особое место занимают теории многообразий, в которых вводится расстояние, но уже не методами дифференциальной Г., т. е. не путём определения элемента длины ds как функции координат и их дифференциалов, а непосредственно отнесением расстояния каждой паре точек. Из относящихся сюда исследований особенно следует отметить работы Г. Буземана. Точно так же в теориях абстрактных пространств ставятся и задачи «в целом», как, напр., т.н. проблема пространственных форм. Она состоит в определении возможного топологического строения пространства с данными свойствами в каждой малой области; напр., каково возможное топологическое строение пространства, которое в каждой малой области эвклидово? Такое пространство может быть, напр., цилиндрическим и даже замкнутым. Характерным для современной Г. является развитие топологии. Если её аксиоматические построения по своей абстрактности и общности далеки от геометрической наглядности, то большинство других её проблем имеет истинно геометрический характер. В этой части топология изучает (в основном) n-мерные многообразия, фигуры в них и их непрерывные преобразования. Важнейшие результаты последних трёх десятилетий в этой области принадлежат советским топологам. П. С. Урысон построил теорию размерности, т. е. общее учение о том, что следует вообще считать числом измерений пространства и произвольной фигуры и какие их свойства определяются числом измерений. В частности, это включает вопрос о характерных свойствах кривых и поверхностей как фигур одного и двух измерений. Эта теория была существенно развита П. С. Александровым. Ему принадлежат также глубокие исследования о расположении общих фигур (замкнутых множеств) в n-мерном пространстве; к ним относятся, напр., зацепления кривых и их многомерные обобщения. Исследования П. С. Александрова основаны на наглядной идее о приближении общих фигур многогранниками. К тем же проблемам зацепления относятся работы Л. С. Понтрягина и А. Н. Колмогорова, которые развили в связи с этим важные общие топологические и алгебраические методы. Понтрягин же исследовал также топологические характеристики многообразий и непрерывных отображений. Наконец, нужно указать, что и все другие разделы Г. продолжают развиваться. В проективной Г. и связанных с нею начертательной Г. и методах номографии в СССР работали А. К. Власов, Н. А. Глаголев, Н. Ф. Четверухин и др. Развивается также алгебраической Г., обобщённая методами современной алгебры и топологии. Из трудов советских математиков в этой области следует назвать работы И. Г. Петровского и Г. Н. Николадзе. Современная геометрия (ее общий предмет и структура). В развитии Геометрии можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение Геометрии. Первый период — период зарождения Геометрии как математической. науки — протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции, примерно до 5 в. до н. э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае — зависимостей между геометрическими величинами. Этот момент не может быть датирован. Самое раннее сочинение, содержащее зачатки Г., дошло до нас из Древнего Египта и относится примерно к 17 в. до н. э., но оно, несомненно, не первое. Геометрические сведения того периода были немногочисленны и сводились прежде всего к вычислению некоторых площадей и объёмов. Они излагались в виде правил, по видимому, в большой мере эмпирического происхождения, логические же доказательства были, вероятно, еще очень примитивными. Г., по свидетельству греч. историков, была перенесена в Грецию из Египта и Вавилона в 7 в. до н. э. Здесь на протяжении нескольких поколений она складывалась в стройную систему. Процесс этот происходил путём накопления новых геометрических. знаний, выяснения связей между разными геометрическими фактами, выработки приёмов доказательств и, наконец, формирования понятий о фигуре, о геометрическом предложении и о доказательстве. Этот процесс привёл, наконец, к качественному скачку; Г. превратилась в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались. С этого времени начинается второй период развития Г. Известны упоминания систематические изложения Г., данного в 5 в. до н. э. Гиппократом Хиосским, и некоторые другие. Но сохранились и сыграли в дальнейшем решающую роль появившиеся около 300 до н. э. «Начала» Эвклида. Здесь Г. представлена так, как ее в основном понимают и теперь, если ограничиваться элементарной Г., начала которой изучают в средней школе, — это наука о простейших пространственных формах и отношениях, развиваемая в логической последовательности, исходя из явно формулированных основных положений — аксиом и основных пространственных представлений. Г., развиваемую на принципах Эвклида, даже уточнённую и обогащенную новыми предметами и методами исследования, называют эвклидовой. Еще в Греции к ней добавляются новые предложения, возникают новые методы определения площадей и объёмов (Архимед, 3 в. до н. э.), учение о конических сечениях (Аполлоний Пергский, 3 в. до н. э.), присоединяются начатки тригонометрии (Гиппарх, 3 в. до н. э.) и Г. на сфере (Менелай, 1 в. н. э.). Падение рабовладельческого античного общества привело к сравнительному застою в развитии Г.: однако она продолжала развиваться в странах арабского Востока, в Средней Азии и Индии. Возрождение наук и искусств в Европе, вызванное зарождением капитализма, повлекло новый расцвет Г. Принципиально новый шаг был сделан в 1-й половине 17 в. Р. Декартом, который ввёл в Г. метод координат, позволивший связать Г. с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в Г. породило аналитическую, а потом и дифференциальную Г. Здесь Г. перешла на качественно новую ступень по сравнению с Г. древних: в ней рассматриваются уже гораздо более общие фигуры и используются существенно новые методы. Поэтому с этого времени можно считать третий период развития Г. Аналитическая геометрия изучает фигуры и преобразования, задаваемые алгебраическими уравнениями в прямоугольных координатах, используя при этом методы алгебры. Дифференциальная геометрия, возникшая в 18 в. в результате работ Л. Эйлера, Г. Монжа и др., исследует уже любые достаточно гладкие кривые линии и поверхности, а также их семейства (т. е. их непрерывные совокупности) и преобразования (понятию «дифференциальная Г.» придаётся теперь часто более общий смысл, о чём см. ниже. — Новейшее развитие геометрии). Её название связано в основном с её методом, исходящим из дифференциального исчисления. Но в настоящее время теория кривых линий и поверхностей переросла эти рамки, т. к. в ней изучают также негладкие кривые и поверхности. К 1-й половине 17 в. относится зарождение проективной геометрии в работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Она возникла из задач изображения тел на плоскости; её первый предмет составляют те свойства плоских фигур, которые сохраняются при проектировании с одной плоскости на другую из любой точки. Окончательное оформление и систематическое изложение этих новых направлений Г. было дано в 18 и начале 19 вв. Л. Эйлером для аналитической Г. (1748), Г. Монжем для дифференциальной Г. (1795), Ж. Понселе для проективной Г. (1822), причём самое учение о геометрическом изображении в прямой связи с задачами черчения было еще раньше (1799) развито и приведено в систему Монжем в виде начертательной геометрии. Во всех этих новых дисциплинах основы Г. оставались неизменными, круг же изучаемых фигур и их свойств, а также применяемых при этом методов расширялся. То была эпоха возникновения промышленного капитализма, и глубокой причиной, побуждавшей развитие этих новых дисциплин, были запросы точного естествознания, техники и промышленности. Четвёртый период в развитии Г. открывается построением Н. И. Лобачевским новой, неэвклидовой Г., называемой теперь геометрией Лобачевского. Первая работа Лобачевского в этом направлении была доложена им на заседании физико-математического факультета Казанского ун-та в 1826 и опубликована в развитой форме в 1829. В 1832 венгерский геометр Янош Больяй независимо от него опубликовал работу того же направления, но в менее развитой форме. Источник, сущность и значение идей Лобачевского сводятся к следующему. В геометрии Эвклида имеется аксиома о параллельных, утверждающая: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной». Многие геометры пытались доказать эту аксиому, исходя из других основных посылок Г., но безуспешно. Лобачевский пришёл к мысли, что такое доказательство невозможно. «Напрасное старание со времен Евклида, в продолжении двух тысяч лет, — писал он, — заставило меня подозревать, что в самых понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую поверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например. Астрономические наблюдения» (Лобачевский Н. И., Полное собр. соч., т. 2, 1949, стр. 147). Утверждение, противоположное аксиоме Эвклида, будет: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две параллельные ей прямые». Это и есть аксиома Лобачевского. По мысли Лобачевского, присоединение этого положения к другим основным положениям Г. не должно приводить к противоречию, т. е. все выводы, получаемые на основе такого соединения, будут логически безупречными. Система этих выводов и образует новую, неэвклидову Г. Заслуга Лобачевского состоит в том, что он не только высказал эту идею, но действительно построил и всесторонне развил эту новую Г., логически столь же совершенную и богатую выводами, как эвклидова, несмотря на её несоответствие обычным наглядным представлениям. Лобачевский рассматривал свою Г. как возможную теорию пространственных отношений; однако она оставалась гипотетической до 1868—70, когда был выяснен её реальный смысл и тем самым было дано её полное обоснование Переворот в Г., произведённый Лобачевским, по своему значению не уступает ни одному из переворотов в естествознании, и недаром Лобачевский был назван «Коперником геометрии». В его идеях были намечены три принципа, определившие новое развитие Г. Первый принцип заключается в том, что логически мыслима не одна эвклидова Г., но и другие «геометрии». Второй принцип — это принцип самого построения новых геометрической теорий путём видоизменения и обобщения основных положений эвклидовой Г., т. е. в конечном счёте данных пространственного опыта. Именно в этом направлении пошло и продолжает идти развитие абстрактной Г. Третий принцип состоит в том, что истинность геометрической теории может проверяться только опытом, и не исключено, что дальнейшие опытные исследования обнаружат неточность соответствия эвклидовой Г. реальным свойствам пространства. Вопрос об этих свойствах есть вопрос физического опыта, а не математического умозрения. Эта мысль содержится в приведённом выше высказывании Лобачевского; современная физика полностью её подтвердила. Лобачевский дал, т. о., материалистическую установку философии математики. Перечисленные общие принципы сыграли определяющую роль не только в Г., но и в развитии математики вообще, в развитии её аксиоматического метода, в понимании её отношения к действительности. Главная особенность нового периода в истории Г., начатого Лобачевским, состоит в развитии новых геометрической теорий — новых «геометрий» и в соответствующем обобщении предмета Г.; возникает понятие о разного рода «пространствах» (термин «пространство» имеет в науке два смысла: с одной стороны, это обычное реальное пространство, с другой — абстрактное математическое «пространство»). Одни теории складывались внутри эвклидовой Г. в виде её особых глав и лишь потом получали самостоятельное значение. Так складывалась Г. проективная, аффинная, конформная и др., предметом которых служат свойства фигур, сохраняющиеся при соответствующих (проективных, аффинных, конформных и др.) преобразованиях. Например, проективная Г. была изложена Ж. Понселе в 1822 как новая глава эвклидовой Г., но уже в 1847 X. Штаудт дал ей самостоятельное обоснование; оформилось понятие особого проективного пространства, и затем сама эвклидова Г. стала рассматриваться в известном смысле как глава проективной Г. Аналогично возникло понятие аффинного и конформного пространств. Другие теории, подобно геометрии Лобачевского, с самого начала строились на основе изменения и обобщения понятий эвклидовой Г. Так, напр., создавалась многомерная Г.; первые относящиеся к ней работы (Г. Грасман и А. Кэли, 1844) представляли формальное обобщение обычной аналитической Г. с трёх координат на n. Некоторый итог развития новых «геометрий» подвёл в 1872 Ф. Клейн, указав общий принцип их построения.Принципиально новый шаг был сделан Б. Риманом в лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854, но опубликованной лишь в 1868. Во-первых, он ясно формулировал обобщённое понятие пространства как непрерывной совокупности любых однородных объектов или явлений . А во-вторых, он ввёл понятие пространства с любым законом измерения расстояний бесконечно малыми шагами (подобно измерению длины линии очень малым масштабом). Отсюда развилась обширная область Г. — т. н. риманова Г. и её обобщения, — которая нашла важные приложения в теории относительности, в механике и др. В тот же период зародилась топология как учение о тех свойствах фигур, которые зависят лишь от взаимного прикосновения их частей и которые, тем самым, сохраняются при любых преобразованиях, не нарушающих и не вводящих новых прикосновений, т. е. происходящих без р

Вторник, 23.05.2017, 17:33
Приветствую Вас Гость
Наш опрос
Оцените мой сайт
Всего ответов: 8
Друзья сайта
  • Официальный блог
  • Сообщество uCoz
  • FAQ по системе
  • Инструкции для uCoz
  • Статистика

    Онлайн всего: 1
    Гостей: 1
    Пользователей: 0